Question

已知F₁、F₂是橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為+1，最小值為-1
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，一直線l：y=kx+m與⊙O相切，與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且滿足≤x₂•x₂+y₁•y₂≤，求△AOB面積S的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題設(shè)知，
解得，c=1，
∴b²=1．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（Ⅱ）∵圓O與直線l相切，
∵，
∴m²=k²+1．
由，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直線l與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，
∴△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
∴k²＞0．
，=，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=，
，
∵≤x₂•x₂+y₁•y₂≤，
∴，
∴，
∴
=
=，
設(shè)μ=k⁴+k²，則，
，
∵S關(guān)于上單調(diào)遞增，
∴△AOB面積S的最大值為．
分析：（Ⅰ）由題設(shè)知，解得，c=1，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）由圓O與直線l相切，知m²=k²+1．由，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由直線l與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，知k²＞0．由韋達(dá)定理知，由≤x₂•x₂+y₁•y₂≤，知，所以==，由此能求出△AOB面積S的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．