以知橢圓
+=1(a>b>0)的兩個焦點分別為F
1(-c,0)和F
2(c,0)(c>0),過點
E(,0)的直線與橢圓相交于A,B兩點,且F
1A
∥F
2B,|F
1A|=2|F
2B|.
(1)求橢圓的離心率;
(2)求直線AB的斜率;
(3)設點C與點A關于坐標原點對稱,直線F
2B上有一點H(m,n)(m≠0)在△AF
1C的外接圓上,求
的值.
(1)由F
1A
∥F
2B且|F
1A|=2|F
2B|,
得
||=||=,從而
=整理,得a
2=3c
2,故離心率
e==(2)由(I)得b
2=a
2-c
2=2c
2,
所以橢圓的方程可寫為2x
2+3y
2=6c
2設直線AB的方程為
y=k(x-),即y=k(x-3c).
由已知設A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),
則它們的坐標滿足方程組
消去y整理,得(2+3k
2)x
2-18k
2cx+27k
2c
2-6c
2=0.
依題意,
△=48c2(1-3k2)>0,得-<k<而
x1+x2=①
x1x2=②
由題設知,點B為線段AE的中點,所以x
1+3c=2x
2③
聯(lián)立①③解得
x1=,
x2=將x
1,x
2代入②中,解得
k=±.
(III)解法一:由(II)可知
x1=0,x2=當
k=-時,得
A(0,c),由已知得
C(0,-c).
線段AF
1的垂直平分線l的方程為
y-c=-(x+)直線l與x軸
的交點
(,0)是△AF
1C外接圓的圓心,
因此外接圓的方程為
(x-)2+y2=(+c)2.
直線F
2B的方程為
y=(x-c),
于是點H(m,n)的坐標滿足方程組
,
由m≠0,解得
故
=當
k=時,同理可得
=-.
解法二:由(II)可知
x1=0,x2=當
k=-時,得
A(0,c),由已知得
C(0,-c)由橢圓的對稱性可知B,F(xiàn)
2,C三點共線,
因為點H(m,n)在△AF
1C的外接圓上,
且F
1A
∥F
2B,所以四邊形AF
1CH為等腰梯形.
由直線F
2B的方程為
y=(x-c),
知點H的坐標為
(m,m-c).
因為|AH|=|CF
1|,所以
m2+(m-c-c)2=a2,解得m=c(舍),或
m=c.
則
n=c,所以
=.當
k=時同理可得
=-
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
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已知橢圓中心在原點,它在x軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直,并且這個焦點到橢圓的最短距離為4(
-1),則橢圓的方程為______.
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題型:填空題
若P為橢圓
+=1上一點,F(xiàn)
1和F
2為橢圓的兩個焦點,∠F
1PF
2=60°,則|PF
1|•|PF
2|的值為______.
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橢圓
+
=1(a>b>0)的一個焦點為F
1,若橢圓上存在一個點P,滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF
1相切于該線段的中點,則橢圓的離心率為______.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,A為橢圓
+=1(a>b>0)上的一個動點,弦AB、AC分別過焦點F
1、F
2,當AC垂直于x軸時,恰好有AF
1:AF
2=3:1.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設
=λ
1,
=λ
2.
①當A點恰為橢圓短軸的一個端點時,求λ
1+λ
2的值;
②當A點為該橢圓上的一個動點時,試判斷是λ
1+λ
2否為定值?若是,請證明;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
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在平面直角坐標系
中,已知中心在坐標原點的雙曲線
經(jīng)過點
,且它的右焦點
與拋物線
的焦點相同,則該雙曲線的標準方程為
.
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題型:單選題
已知雙曲線
-
=1(a>0,b>0)的兩條漸近線均和圓C:x
2+y
2-6x+5=0相切,且雙曲線的右焦點為圓C的圓心,則該雙曲線的方程為( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
設
分別為雙曲線
的左、右焦點,雙曲線上存在一點
使得
則該雙曲線的離心率為
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
若拋物線
的焦點與雙曲線
的右焦點重合,則
的值為( ).
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