橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個焦點為F1，若橢圓上存在一個點P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF1相切于該線段的中點，則橢圓的離心率為______．
設以橢圓的短軸為直徑的圓與線段PF1相切于點M，連結OM、PF2，
∵M、O分別為PF1、F1F2的中點，
∴MO∥PF2，且|PF2|=2|MO|=2b，
又∵線段PF1與圓O相切于點M，可得OM⊥PF1，
∴PF1⊥PF2，
∴|PF1|=
4c2-4b2
=2
c2-b2
．
∴|PF1|+|PF2|=2
c2-b2
+2b=2a，
化簡得2ab=a2-c2+2b2=3b2，
∴b=
2
3
a，c=
5
3
a，
∴離心率為e=
c
a
=
5
3
．
故答案為：
5
3
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知兩點A（-1，0），B（1，0），且點C（x，y）滿足
(x-1)2+y2
|x-4|
=
1
2
，則|AC|+|BC|=（　　）
A．6B．2C．4D．不能確定

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，已知A，B分別為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞)的右頂點和上頂點，直線 l∥AB，l與x軸、y軸分別交于C，D兩點，直線CE，DF為橢圓的切線，則CE與DF的斜率之積kCE•kDF等于（　�。�
A．±
a2
b2
B．±
a2-b2
a2
C．±
b2
a2
D．±
a2-b2
b2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左，右焦點，現(xiàn)以F2為圓心作一個圓恰好經過橢圓中心并且交橢圓于點M，N，若過F1的直線MF1是圓F2的切線，則橢圓的離心率為（　�。�
A．
3
-1		B．2-
3
C．
2
2
D．
3
2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，長軸長為2
3
，直線l：y=kx+m交橢圓于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若m=1，且
OA
•
OB
=0，求k的值（O點為坐標原點）；
（Ⅲ）若坐標原點O到直線l的距離為
3
2
，求△AOB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設P為橢圓
x2
16
+
y2
9
=1上的動點，則P到直線x+y-6=0的最小距離為（　�。�
A．1B．2C．
2
2
D．
2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

以知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個焦點分別為F1（-c，0）和F2（c，0）（c＞0），過點E(
a2
c
，0)的直線與橢圓相交于A，B兩點，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．
（1）求橢圓的離心率；
（2）求直線AB的斜率；
（3）設點C與點A關于坐標原點對稱，直線F2B上有一點H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圓上，求
n
m
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：（a>b>0)的一個焦點為，離心率為.
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）若動點P(x0,y0)為雙曲線外一點，且點P到雙曲線C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知雙曲線－＝1的右焦點為(3,0)，則該雙曲線的離心率等于(　　)
A．B．C．D．

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同步練習冊答案