Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+mx+n以（0，a）為切點的切線方程是2x+y-2=0．
（Ⅰ）求實數(shù)m，n的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求f（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，根據(jù)切線方程求出斜率的值，從而求出m，n的值；
（Ⅱ）先求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極小值，進而求出函數(shù)的零點個數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+mx+n，
∴f（x）的定義域是（-∞，+∞），且f′（x）=x²+x+m，
在切線方程2x+y-2=0中，令x=0，得y=2，即a=2，
∴n=f（0）=2，
∵切線斜率為f′（0）=-2，
∴m=-2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f′（x）=（x+2）（x-1），
當x變化時，函數(shù)f（x）、f′（x）變化情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-2]，[1，+∞，單調(diào)減區(qū)間是，[-2，1]；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知：f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²-2x+2，
∴f（x）_極小=f（1）=$\frac{5}{6}$＞0，
又f（-6）=-40＜0，所以f（x）只有一個零點，即f（x）的零點個數(shù)為1．

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．