Question

9．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x+a，若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，且|f（x）|＜2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）的范圍，再根據(jù)|f（x）|＜2求得a的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x+a=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1+a=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1，
∴當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，可得：-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1∈[a，3+a]，
∵由|f（x）|＜2，可得：-2＜f（x）＜2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+a＜2}\\{a＞-2}\end{array}\right.$，解得：a∈（-2，-1）．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，考查了計算能力，屬于基礎題．