Question

設(shè)數(shù)列{a_n}，a₁=

5

6

，若以a₁，a₂，…，a_n為系數(shù)的二次方程：a_n-1x²-a_nx+1=0（n∈N^*且n≥2）都有根α、β滿足3α-αβ+3β=1．
（1）求證：{a_n-

1

2

}為等比數(shù)列；
（2）求a_n；
（3）求{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)韋達定理分別求得α+β和αβ代入3α-αβ+3β=1，進而求得a_n=

1

3

a_n-1+

1

3

，進而可推知

an- 1 2

an-1- 1 2

為定值，原式得證．（2）先根據(jù)a₁求得數(shù)列{a_n-

1

2

}的首項，再由（1）求得的公比，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式進而可得a_n
（3）再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，求得S_n．

解答：（1）證明：∵α+β=

an

an-1

，αβ=

1

an-1

代入3α-αβ+3β=1得a_n=

1

3

a_n-1+

1

3

，
∴

an- 1 2

an-1- 1 2

=

1 3 an-1+ 1 3 - 1 2

an-1- 1 2

=

1

3

為定值．
∴數(shù)列{a_n-

1

2

}是等比數(shù)列．
（2）解：∵a₁-

1

2

=

5

6

-

1

2

=

1

3

，
∴a_n-

1

2

=

1

3

×（

1

3

）^n-1=（

1

3

）ⁿ．
∴a_n=（

1

3

）ⁿ+

1

2

．
（3）解：S_n=（

1

3

+

1

32

++

1

3n

）+

n

2

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

+

n

2

=

n+1

2

-

1

2×3n

．

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．