Question

4．$f（x）=\sqrt{2}sin（{x+φ}）-a+{e^{-x}}$，$φ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，已知f（x）的圖象在（0，f（0））處的切線與x軸平行或重合．
（1）求φ的值；
（2）若對?x≥0，f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍；
（3）利用如表數(shù)據(jù)證明：$\sum_{k=1}^{157}{sin\frac{kπ}{314}＜106}$．

${e^{\frac{π}{314}}}$	${e^{-\frac{π}{314}}}$	${e^{\frac{78π}{314}}}$	${e^{-\frac{78π}{314}}}$	${e^{\frac{79π}{314}}}$	${e^{-\frac{79π}{314}}}$
1.010	0.990	2.182	0.458	2.204	0.454

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（0）=0，求出φ的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)累加即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\sqrt{2}cos（{x+φ}）-{e^{-x}}，f'（0）=\sqrt{2}cosφ-1=0$，則$φ=\frac{π}{4}$；
（2）$f（x）=\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）-a+{e^{-x}}≤0$，即$g（x）=（{\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）-a}）{e^x}+1≤0$恒成立，
g（0）=-a+2≤0，則a≥2，
$g'（x）=（{\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）-a+\sqrt{2}cos（{x+\frac{π}{4}}）}）{e^x}=（{2cosx-a}）{e^x}≤0$，
則g（x）遞減．
所以a≥2時(shí)，$g（x）=（{\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）-a}）{e^x}+1≤g（0）=-a+2≤0$；
（3）證明：$\sum_{k=1}^{157}{sin\frac{kπ}{314}}=1+\sum_{k=1}^{78}{（{sin\frac{kπ}{314}+sin\frac{{（{157-k}）π}}{314}}）}$
=$1+\sum_{k=1}^{78}{\sqrt{2}sin（{\frac{kπ}{314}+\frac{π}{4}}）＜1}+\sum_{k=1}^{78}{（{2-{e^{-\frac{kπ}{314}}}}）}=157-\sum_{k=1}^{78}{{e^{-\frac{kπ}{314}}}}$
=$157-\frac{{{e^{-\frac{π}{314}}}（{1-{e^{-\frac{78π}{314}}}}）}}{{1-{e^{-\frac{π}{314}}}}}=157-\frac{{1-{e^{-\frac{78π}{314}}}}}{{{e^{\frac{π}{314}}}-1}}＜157-\frac{1-0.4585}{0.0105}=105\frac{3}{7}＜106$．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查不等式的證明，是一道綜合題．