Question

14．設(shè)a，b∈R，關(guān)于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8無公共解，則ab的取值范圍是[-16，16]．

Answer 1

分析 畫出不等式表示的可行域，通過對(duì)a，b的符號(hào)討論，然后求解ab的取值范圍

解答 解：關(guān)于x，y的不等式|x|+|y|＜1表示的可行域如圖的陰影部分：可行域與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（1，0），（0，1），（0，-1），（-1，0），

關(guān)于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8無公共解，則ax+4by≥8表示的范圍在可行域外側(cè)，
當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)滿足題意，可得$\frac{2}$≥1，$\frac{8}{a}$≥1，可得0＜ab≤16，
當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)滿足題意，可得$\frac{2}≤$-1，$\frac{8}{a}≥1$，可得：-2≤b＜0，0＜a≤8可得-16≤ab＜0，
當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)滿足題意，可得$\frac{2}≥1$，$\frac{8}{a}≤-1$，可得：0＜b≤2，-8≤a＜0可得-16≤ab＜0，
當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)滿足題意，可得$\frac{2}≤-1$，$\frac{8}{a}≤-1$，可得：-2≤b＜0，-8≤a＜0，∴0＜ab≤16，
當(dāng)ab=0時(shí)，不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8無公共解；
故ab的取值范圍是：[-16，16]；
故答案為：[-16，16]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，考查分類討論的應(yīng)用，可以利用特殊值方法判斷求解．