Question

7．設(shè)實數(shù)λ＞0，若對任意的x∈（0，+∞），不等式e^λx-$\frac{lnx}{λ}$≥0恒成立，則λ的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{e}$
• B． $\frac{1}{2e}$
• C． $\frac{2}{e}$
• D． $\frac{e}{3}$

Answer 1

分析 由題意可得（e^λx-$\frac{lnx}{λ}$）_min≥0，設(shè)f（x）=e^λx-$\frac{lnx}{λ}$，x＞0，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極小值點m和最小值點，可令最小值為0，解方程可得m，λ，進而得到所求最小值．

解答 解：實數(shù)λ＞0，若對任意的x∈（0，+∞），不等式e^λx-$\frac{lnx}{λ}$≥0恒成立，
即為（e^λx-$\frac{lnx}{λ}$）_min≥0，
設(shè)f（x）=e^λx-$\frac{lnx}{λ}$，x＞0，f′（x）=λe^λx-$\frac{1}{λx}$，
令f′（x）=0，可得e^λx=$\frac{1}{{λ}^{2}x}$，
由指數(shù)函數(shù)和反函數(shù)在第一象限的圖象，
可得y=e^λx和y=$\frac{1}{{λ}^{2}x}$有且只有一個交點，
設(shè)為（m，n），當x＞m時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當0＜x＜m時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有f（x）在x=m處取得極小值，且為最小值．
即有e^λm=$\frac{1}{{λ}^{2}m}$，令e^λm-$\frac{lnm}{λ}$=0，
可得m=e，λ=$\frac{1}{e}$．
則當λ≥$\frac{1}{e}$時，不等式e^λx-$\frac{lnx}{λ}$≥0恒成立．
則λ的最小值為$\frac{1}{e}$．
另解：由于y=e^λx與y=$\frac{lnx}{λ}$互為反函數(shù)，
故圖象關(guān)于y=x對稱，考慮極限情況，y=x恰為這兩個函數(shù)的公切線，
此時斜率k=1，再用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率的表達式為k=$\frac{1}{λe}$，
即可得λ的最小值為$\frac{1}{e}$．
故選：A．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想，以及運用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查方程思想，以及運算能力，屬于中檔題．