Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項和${S_n}=-{a_n}-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+2$（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 ${S_n}=-{a_n}-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+2$（n∈N^*），可得n=1時，a₁=S₁=-a₁-1+2，解得a₁．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+$（\frac{1}{2}）^{n}$．可得2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1．即可得出．

解答 解：∵${S_n}=-{a_n}-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+2$（n∈N^*），
∴n=1時，a₁=S₁=-a₁-1+2，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-a_n-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+2-$[-{a}_{n-1}-（\frac{1}{2}）^{n-2}+2]$，
化為：a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+$（\frac{1}{2}）^{n}$．
∴2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1．
∴數(shù)列{2ⁿa_n}是等差數(shù)列，首項為1，公差為1．
∴2ⁿa_n=1+n-1=n，
則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
故答案為：$\frac{n}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．