Question

如圖，四棱錐中，都是邊長為的等邊三角形.

（I）證明：

（II）求點(diǎn)A到平面PCD的距離.

 

Answer 1

【答案】

（I）見解析（II）1

【解析】（Ⅰ）證明：取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則ABED為正方形.

過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O.

連結(jié)OA，OB,OD,OE.

由和都是等邊三角形知PA=PB=PD，

所以O(shè)A=OB=OD，即點(diǎn)O為正方形ABED對角線的交點(diǎn)，

故，從而.         

因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，

所以O(shè)E//CD.因此.   

（Ⅱ）解：取PD的中點(diǎn)F，連結(jié)OF，則OF//PB.

由（Ⅰ）知，，故.

又，，

故為等腰三角形，因此.

又，所以平面PCD.

因?yàn)锳E//CD，平面PCD，平面PCD，所以AE//平面PCD.

因此O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離，而，

所以A至平面PCD的距離為1.

（1）解題的關(guān)鍵是輔助線的添加，取BC的中點(diǎn)E是入手點(diǎn)，然后借助三垂線定理進(jìn)行證明；（2）求點(diǎn)面距的求解方法比較多，在解題過程中，如何根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇相適應(yīng)的方法是比較棘手的問題。根據(jù)解題經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)下面常用的技巧：（1）若直接能夠確定點(diǎn)在平面的射影，可考慮用直接法，找出點(diǎn)面距.一般在一些規(guī)則的幾何體中，頂點(diǎn)在底面的射影比較容易確定.如有時(shí)要利用兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)，在其中一個(gè)平面內(nèi)作兩個(gè)平面交線的垂線即得；（2）如果能夠構(gòu)造出三棱錐，要找的點(diǎn)面距恰好是三棱錐的高，此時(shí)利用等體積法比較簡單，但是應(yīng)該明確另一個(gè)頂點(diǎn)到對應(yīng)底面的距離和底面面積兩個(gè)量，才能順利求解，計(jì)算過程較為麻煩，但是不用添加輔助線找垂線段. （3）若不易找出射影位置，可考慮利用轉(zhuǎn)移的方法，即把不易求的點(diǎn)到平面的距離借助轉(zhuǎn)移手法，變?yōu)榍罅硗庖稽c(diǎn)到平面的距離，然后通過這兩點(diǎn)到平面的距離的數(shù)量關(guān)系求得所求距離的方法，常用的手段有平行轉(zhuǎn)移和等比例轉(zhuǎn)移.

【考點(diǎn)定位】本題考查線線垂直的證明和二面角的求解，考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力。