Question

平面上兩點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂滿足|F₁F₂|=10．設(shè)d為實(shí)數(shù)，令Γ表示平面上滿足||PF₁|-|PF₂||=d的所有P點(diǎn)所成的圖形．又令圓C為平面上以F₁為圓心，9為半徑的圓．給出下列選項(xiàng)：
①當(dāng)d=0時(shí)，Γ為直線；
②當(dāng)d=1時(shí)，Γ為雙曲線；
③當(dāng)d=6時(shí)，Γ9與C有兩個(gè)公共點(diǎn)；
④當(dāng)d=8時(shí)，Γ與C有三個(gè)公共點(diǎn)；
⑤當(dāng)d=10時(shí)，Γ與C有兩個(gè)公共點(diǎn)．
其中是真命題的有：

 

．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①d=0時(shí)，點(diǎn)P的軌跡Γ是線段F₁F₂的垂直平分線；
②d=1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡Γ是雙曲線；
③d=6時(shí)，Γ是雙曲線，與圓C有4個(gè)交點(diǎn)；
④d=8時(shí)，Γ是雙曲線，與圓C有3個(gè)公共點(diǎn)；
⑤d=10時(shí)，點(diǎn)P的軌跡Γ是兩條射線，與圓C有1個(gè)交點(diǎn)．

解答： 解：對(duì)于①，當(dāng)d=0時(shí)，|PF₁|=|PF₂|，點(diǎn)P的軌跡Γ是線段F₁F₂的垂直平分線，命題①正確；
對(duì)于②，當(dāng)d=1時(shí)，∵||PF₁|-|PF₂||=1＜|F₁F₂|=10，∴點(diǎn)P的軌跡Γ是雙曲線，命題②正確；
對(duì)于③，當(dāng)d=6時(shí)，Γ是雙曲線，且c=5，a=3，
C是以F₁為圓心、9為半徑的圓，Γ與圓C有4個(gè)交點(diǎn)，命題③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，當(dāng)d=8時(shí)，Γ是雙曲線，且c=5，a=4，
Γ與圓C有三個(gè)公共點(diǎn)，∴命題④正確；
對(duì)于⑤，當(dāng)d=10時(shí)，∵||PF₁|-|PF₂||=10=|F₁F₂|，
∴點(diǎn)P的軌跡Γ是兩條射線，與圓C的交點(diǎn)只有1個(gè)，∴命題⑤錯(cuò)誤．
綜上，正確的命題是①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的定義，圓與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，是綜合題．