Question

已知直線y=-x+1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段AB的長；
（2）若向量與向量f（s）≥ϕ（t）互相垂直（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)橢圓的離心率時，求橢圓的長軸長的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的離心率為，焦距為2，求出橢圓的方程為．聯(lián)立，消去y得：5x²-6x-3=0，再由弦長公式能求求出|AB|．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，知x₁x₂+y₁y₂=0，由，消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，再由根的判斷式得到a²+b²＞1，利用韋達(dá)定理，得到a²+b²-2a²b²=0．由此能夠推導(dǎo)出長軸長的最大值．
解答：解：（1）∵，2c=2，
∴a=，b=，
∴橢圓的方程為．…（2分）
聯(lián)立，消去y得：5x²-6x-3=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，，
∴|AB|=
=•
=．…（5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵，∴，
即x₁x₂+y₁y₂=0，
由，消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，整理得a²+b²＞1…（7分）
∵，，
∴y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，得：2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
∴，
整理得：a²+b²-2a²b²=0．…（9分）
∴b²=a²-c²=a²-a²e²，代入上式得
2a²=1+，∴，…（10分）
∵，
∴，∴，
∴，∴，
∴適合條件a²+b²＞1．
由此得，∴，
故長軸長的最大值為．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程和長軸長最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量垂直的條件、韋達(dá)定理、根的判別式、弦長公式、橢圓性質(zhì)等知識點(diǎn)的靈活應(yīng)用．