Question

在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，sinC+sin（A-B）=3sin2B．若C=

π

3

，則

a

b

=（　�。�

• A．

  1

  2

• B．3
• C．

  1

  2

  或3
• D．3或

  1

  4

Answer 1

分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式，可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入題中等式并利用三角恒等變換化簡，整理得cosB（sinA-3sinB）=0，可得cosB=0或sinA=3sinB．再由正弦定理與直角三角形中三角函數(shù)的定義加以計算，可得

a

b

的值．

解答：解：∵A+B=π-C，
∴sinC=sin（π-C）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
又∵sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB，
∴sinC+sin（A-B）=3sin2B，即（sinAcosB+cosAsinB）+（sinAcosB-cosAsinB）=6sinBcosB，
化簡得2sinAcosB=6sinBcosB，即cosB（sinA-3sinB）=0
解之得cosB=0或sinA=3sinB．
①若cosB=0，結(jié)合B為三角形的內(nèi)角，可得B=

π

2

，
∵C=

π

3

，∴A=

π

2

-C=

π

6

，
因此sinA=sin

π

6

=

1

2

，由三角函數(shù)的定義得sinA=

a

b

=

1

2

；
②若sinA=3sinB，由正弦定理得a=3b，所以

a

b

=3．
綜上所述，

a

b

的值為

1

2

或3．
故選：C

點(diǎn)評：本題給出三角形角的三角函數(shù)關(guān)系式，求邊之間的比值．著重考查了三角形內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式、三角恒等變換、三角函數(shù)的定義和正余弦定理等知識，屬于中檔題．