Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+alnx（a∈R）
（1）若f（x）[1，e]上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若a=1，a≤x≤e，證明：f（x）＜

2

3

x³．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=

1

2

x²+alnx在[1，e]上是增函數(shù)，則f′(x)=x+

a

x

≥0在[1，e]上恒成立，由此轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問題，并用參變量分離轉(zhuǎn)化為a的不等式，解不等式即可得到實數(shù)a的取值范圍．
（2）根據(jù)題中條件，a=1求出函數(shù)f（x）的解析式，將不等式變形，構(gòu)造一個新的函數(shù)F（x），再根據(jù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)在[1，e]上恒小于0，所以得到F（x）單調(diào)遞減，從而求出F（x）在[1，e]上的最值小于0，即可證得f（x）＜

2

3

x³．

解答：解：（1）f′(x)=x+

a

x

，且在[1，e]上是增函數(shù)，
∴f′(x)=x+

a

x

≥0恒成立，即a≥-x²在[1，e]上恒成立，
∴a≥-1                          …（6分）
（2）證明：當(dāng)a=1時，f（x）=

1

2

x2+lnx，x∈[1，e]，
令F（x）=f（x）-

2

3

x3=

1

2

x2+lnx-

2

3

x3，
∴F′(x)=x+

1

x

-2x2=

(1-x)(1+x+2x2)

x

≤0，
∴F（x）在[1，e]上是減函數(shù)，
∴F(x)≤F(1)=

1

2

-

2

3

＜0．
∴x∈[1，e]時，f(x)＜

2

3

x3．…（12分）

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以將問題轉(zhuǎn)化為該單調(diào)區(qū)間上的恒成立問題，恒成立問題解決的基本思路是參變量分離．本題還涉及了構(gòu)造新函數(shù)的思想以及用作差法比較兩個數(shù)的大小問題，要能利用導(dǎo)數(shù)求出某區(qū)間上的最值問題．屬中檔題．