Question

7．已知點P是直線x-y-2=0上的動點，過點P作拋物線C：x²=2py（0＜p＜4）的兩條切線，切點分別為A、B，線段AB的中點為M，連接PM，交拋物線C于點N，若$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PN}$，則λ=2．

Answer 1

分析 求出切線方程，可得M的坐標，利用$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PN}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：設A（x₁，$\frac{1}{2p}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{2p}$x₂²），P（x₀，y₀）
由拋物線C：x²=2py得拋物線C的方程為y=$\frac{1}{2p}$x²，∴y′=$\frac{x}{p}$
∴PA：y-$\frac{1}{2p}$x₁²=$\frac{{x}_{1}}{p}$（x-x₁）①，PB：：y-$\frac{1}{2p}$x₂²=$\frac{{x}_{2}}{p}$（x-x₂）②
聯(lián)立①②可得x₁，x₂是方程t²-2x₀t+2py₀=0的兩個根，
∴x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=2py₀，
線段AB的中點為M（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{p}$-y₀），
又N（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2p}$），
∵$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PN}$，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{p}$-y₀-y₀=λ（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2p}$-y₀），∴λ=2．
故答案為2．

點評 本題以拋物線為載體，考查拋物線的標準方程，考查利用導數(shù)研究曲線的切線方程，考查計算能力，有一定的綜合性．