Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，點M在線段PD上，且AM⊥MC．
（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值；
（3）求二面角M-AC-D的余弦值．

Answer 1

（1）證明：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AM，
∵AM⊥MC，CD∩MC=C
∴AM⊥平面PCD，
∵AM?平面ABM，∴平面ABM⊥平面PCD．
（2）解：以A為坐標原點，AB為x軸，建立空間直角坐標系，如圖．
則A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），
由于PA=AD，AM⊥PD，∴M是PD的中點，∴M（0，2，2）；
設(shè)平面ACM的一個法向量，由，可得：，令z=1，則．
設(shè)CD與平面ACM所成的角為α，又，則．
所以直線CD與平面ACM所成的角的正弦值為．
（3）解：由于PA⊥平面ACD，取平面ACD的法向量為，平面ACM的法向量為，
∴．
∴二面角M-AC-D的余弦值為．
分析：（1）證明CD⊥平面PAD，可得CD⊥AM，利用AM⊥MC，可得AM⊥平面PCD，利用面面垂直的判定，即可證明平面ABM⊥平面PCD；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面ACM的一個法向量，，利用向量的夾角公式即可得到結(jié)論；
（3）確定平面ACD的法向量為，平面ACM的法向量為，利用向量的夾角公式即可求二面角M-AC-D的余弦值．
點評：本題考查面面垂直，考查線面角、面面角，考查利用向量知識解決立體幾何問題，正確求平面的法向量是關(guān)鍵．