Question

已知函數(shù)f(x)=

a

3

x3-

1

2

(3a+2)x2+6x，g（x）=-ax²+4x-m，a，m∈R．
（I）當(dāng)a=1，x∈[0，3]時(shí)，求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若a＜2時(shí)關(guān)于x的方程f（x）=g（x）總有三個(gè)不同的根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=x²-5x+6=（x-2）（x-3），x∈[0，2]，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增；x∈[2，3]，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，由此能求出f（x）的最大值和最小值．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x），則h(x)=

a

3

x3-(

a

2

+1)x2+2x+m，則h′（x）=ax²-（a+2）x+2=（ax-2）（x-1）f（x）=g（x）總有三個(gè)不同的根，即y=h（x）的圖象和x軸總有三個(gè)不同的交點(diǎn)，由此能求出m的取值范圍．

解答：解：（I）f′（x）=ax²-（3a+2）x+6=（ax-2）（x-3）a=1，
f′（x）=x²-5x+6=（x-2）（x-3），
x∈[0，2]和x∈[3，+∞]，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增；
x∈[2，3]，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減；
∴f(x)max=f(2)=

14

3

；f（x）_min為f（0）=0和f(3)=

9

2

的最小者，
∴f（x）_min=0．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x），
則h(x)=

a

3

x3-(

a

2

+1)x2+2x+m
則h′（x）=ax²-（a+2）x+2=（ax-2）（x-1）f（x）=g（x）總有三個(gè)不同的根，
即y=h（x）的圖象和x軸總有三個(gè)不同的交點(diǎn)
①當(dāng)a＜0時(shí)，

2

a

＜1，h（x）的極大值為h(1)=1-

a

6

+m，
h（x）的極小值為h(

2

a

)=

6a-4

3a2

+m，
要使y=h（x）的圖象和x軸總有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
需滿足

h(1)＞0 h( 2 a )＜0

在a＜0時(shí)恒成立，
即

h(1)=1- a 6 +m＞0 h( 2 a )= 6a-4 3a2 +m＜0

在a＜0時(shí)恒有解m≥(

a

6

-1)max，
∴m≥-1m≤(

-6a+4

3a2

)min，
又

1

a

＜0，

-6a+4

3a2

=

4

3

(

1

a

-

3

4

)2-

3

4

＞0，
∴m≤0．
∴-1≤m≤0．
②當(dāng)a=0時(shí)，h（x）=-x²+2x+m，顯然不符合題意，舍去；
③當(dāng)0＜a＜2時(shí)，h′（x）=ax²-（a+2）x+2=（ax-2）（x-1），
h（x）的極大值為h(1)=1-

a

6

+m，
h（x）的極小值為h(

2

a

)=

6a-4

3a2

+m
即

h(1)=1- a 6 +m＞0 h( 2 a )= 6a-4 3a2 +m＜0

，
即

m≥- 2 3 m≤- 3 4

，舍去．
綜上述，m∈[-1，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最大值和最小值的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．