Question

如圖，邊長為2的正方形ABCD外有一點P，且PA=PB=PC=PD=2中，E是PC的中點．
（1）求證：PA∥平面EBD；
（2）求異面直線PA與BE所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取BD中點O，連接OE，利用正方形的性質(zhì)可得AO=OC．又PE=EC，利用三角形的中位線定理可得：OE∥PA．再利用線面平行的判定定理可得PA∥平面EBD；
（2）由（1）可知：PA∥EO，可得∠OEB是異面直線PA與BE所成的角．利用正方形ABCD的邊長為2，且PA=PB=PC=PD=2，E為PC的中點．可得OB=

1

2

BD，EB，利用勾股定理可得OE=

EB2-OB2

．再利用cos∠OEB=

OE

EB

即可得出．

解答：解：（1）取BD中點O，連接OE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AO=OC．
又PE=EC，
∴OE∥PA．
又AP?平面EBD，OE?平面EBD．
∴PA∥平面EBD；
（2）由（1）可知：PA∥EO，
∴∠OEB是異面直線PA與BE所成的角．
∵正方形ABCD的邊長為2，且PA=PB=PC=PD=2，E為PC的中點．
∴OB=

1

2

BD=

1

2

×2

2

=

2

，EB=

3

，
在Rt△OBE中，OE=

EB2-OB2

=1．
∴cos∠OEB=

OE

EB

=

3

3

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、異面直線所成的角、勾股定理等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．