Question

11．等差數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項和，若a₅=10，S₅=30，則$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{2016}}$=$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₅=10，S₅=30，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=10}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=30}\end{array}\right.$，解得a₁，d．可得S_n，再利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₅=10，S₅=30，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=10}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=30}\end{array}\right.$，
解得a₁=d=2．
∴S_n=$2n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n（n+1），
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
則$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{2016}}$=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}）$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$．
故答案為：$\frac{2016}{2017}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．