Question

9．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$．
（1）判斷$\frac{98}{101}$是不是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)；
（2）試判斷數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)是否都在區(qū)間（0，1）內(nèi)；
（3）在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）內(nèi)有無(wú)數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)？若有，是第幾項(xiàng)？若沒(méi)有．請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，解$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$=$\frac{98}{101}$可得n的值，判定n的值是否為正整數(shù)即可得答案；
（2）根據(jù)題意，將數(shù)列的通項(xiàng)公式變形為a_n=$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$=$\frac{3n-2}{3n+1}$，結(jié)合n的范圍分析a_n的取值范圍，即可得答案；
（3）解$\frac{1}{3}$＜$\frac{3n-2}{3n+1}$＜$\frac{2}{3}$可得$\frac{7}{6}$＜n＜$\frac{8}{3}$，由n為正整數(shù)可得n的值，即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，a_n=$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$=$\frac{3n-2}{3n+1}$，
若$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$=$\frac{98}{101}$，則有$\frac{3n-2}{3n+1}$=$\frac{98}{101}$
解可得n=$\frac{100}{3}$，不是正整數(shù)，
則$\frac{98}{101}$不是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)；
（2）a_n=$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$=$\frac{3n-2}{3n+1}$，
又由n≥1，則有0＜a_n＜1，
故數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)都在區(qū)間（0，1）內(nèi)；
（3）若$\frac{3n-2}{3n+1}$∈（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），即$\frac{1}{3}$＜$\frac{3n-2}{3n+1}$＜$\frac{2}{3}$
解可得：$\frac{7}{6}$＜n＜$\frac{8}{3}$，
又由n為正整數(shù)，則n=2，
故在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）內(nèi)有數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，為第二項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的函數(shù)特性，關(guān)鍵是理解掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式的定義．