Question

已知函數(shù)f（x）=aln（2x+1）+bx+1．
（I）若函數(shù)y=f（x）在x=1處取得極值，且曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線與直線2x+y-3=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若，試討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和極值的定義建立方程組，解之即可；
（II）討論a的正負(fù)，然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101230824007301766/SYS201311012308240073017021_DA/1.png">.
由題意，解得∴．（5分）
（Ⅱ）若，則.．
（1）令，由函數(shù)定義域可知，4x+2＞0，所以2x+4a+1＞0
①當(dāng)a≥0時(shí)，，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＜0時(shí)，，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
（2）令，即2x+4a+1＜0
①當(dāng)a≥0時(shí)，不等式f'（x）＜0無(wú)解；
②當(dāng)a＜0時(shí)，，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
綜上：當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間為增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間為增函數(shù)；
在區(qū)間為減函數(shù)．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．