在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，橢圓G與拋物線y2=-8x有一個(gè)公共的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（-2，
2
）．
（1）求橢圓G的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn)，若
OA
⊥
OB
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），試探討直線l與圖形|x|+|y|≤
2
6
3
的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）由題意知，a2-b2=4，
4
a2
+
2
b2
=1，由此能求出橢圓G的方程．
（2）圖形|x|+|y|≤
2
6
3
圍成一個(gè)以（±
2
6
3
，0），（0，±
2
6
3
）為頂點(diǎn)的正方形區(qū)域，設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），由
OA
⊥
OB
，
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=0，由直線l的斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行分類討論，得到當(dāng)直線l的斜率不存在或斜率為0時(shí)，l與圖形|x|+|y|≤
2
6
3
有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，l與圖形|x|+|y|≤
2
6
3
沒(méi)有公共點(diǎn)．
解答： 解：（1）由題意知，a2-b2=4，
4
a2
+
2
b2
=1，
解得 a2=8，b2=4．
∴橢圓G的方程為  
x2
8
+
y2
4
=1．…（4分）
（2）圖形|x|+|y|≤
2
6
3
圍成一個(gè)以（±
2
6
3
，0），（0，±
2
6
3
）為頂點(diǎn)的正方形區(qū)域，
設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），
∵
OA
⊥
OB
，∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=0，
（i）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l：x=m，則A（m，y1），B（m，-y1），
點(diǎn)A在橢圓上，
m2
8
+
y12
4
=1，
OA
⊥
OB
，m2-y12=0，
解得m2=
8
3
，此時(shí)直線l：x=
2
6
3
，和x=-
2
6
3
與圖形|x|+|y|有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
分別為(
2
6
3
，0)，(-
2
6
3
，0)．…（8分）
（ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx+n，
代入
x2
8
+
y2
4
=1，得（2k2+1）x2+4knx+2n2-8=0，
x1+x2=-
4kn
2k2+1
，x1•x2=
2n2-8
2k2+1
，
∴y1•y2=(kx1+n)•(kx2+n)=
n2-8k2
2k2+1
，
∵x1•x2+y1•y2=0，∴3n2=8（k2+1），①…（10分）
又∵坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）到直線l的距離為d=
|n|
k2+1
，②
由①②，得d=
|n|
k2+1
=
2
6
3
是一個(gè)定值，
∴直線l總與圓x2+y2=
8
3
相切，
而圓x2+y2=
8
3
是圖形|x|+|y|≤
2
6
3
圍成的正方形的外接圓，
∴當(dāng)k=0，n=±
2
6
3
時(shí)，
直線l：y=
2
6
3
或l：y=-
2
6
3
與圖形|x|+|y|≤
2
6
3
有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
分別為（0，
2
6
3
），（0，-
2
6
3
），
當(dāng)k≠0時(shí)，直線l：y=kx+n與圖形|x|+|y|≤
2
6
3
沒(méi)有公共點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)直線l的斜率不存在或斜率為0時(shí)，
l與圖形|x|+|y|≤
2
6
3
有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，l與圖形|x|+|y|≤
2
6
3
沒(méi)有公共點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與圖形的公共點(diǎn)的個(gè)點(diǎn)的探究，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量知識(shí)的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

過(guò)拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線l與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，
AF
=3
FB
，A，B在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為D，C．若梯形ABCD的面積為8
3
，則拋物線的方程為（　　）
A、y2=3
2
x
B、y2=
3
2
x
C、y2=
9
2
x
D、y2=
9
4
x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PA=PD=AD=2BC=2，CD=
3
．
（1）求證：PE∥平面BDM；　
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

攀枝花市歡樂(lè)陽(yáng)光節(jié)是攀枝花市的一次向外界展示攀枝花的盛會(huì)，為了搞好接待工作，組委會(huì)在某大學(xué)招募了8名男志愿者和5名女志愿者（分成甲乙兩組），招募時(shí)志愿者的個(gè)人綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)成績(jī)?nèi)鐖D所示．
（Ⅰ）問(wèn)男志愿者和女志愿者的平均個(gè)人綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)成績(jī)哪個(gè)更高？
（Ⅱ）現(xiàn)從甲乙兩組個(gè)人綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)為優(yōu)秀（成績(jī)?cè)?0分以上為優(yōu)秀）
的志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者負(fù)責(zé)接待外賓，要求2人中至少有一名女志
愿者的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，⊙M的同心在x軸的正半軸上，且與y軸相切，過(guò)原點(diǎn)作傾斜角為
π
3
的直線n，交l于點(diǎn)A，交⊙M于另一點(diǎn)B，且|AO|=|OB|=2．
（Ⅰ）求⊙M和拋物線C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的相線l1、l2，設(shè)l1與拋物線C相交于點(diǎn)P、Q，l2與拋物線C相交于點(diǎn)G、H，求
PG
•
HQ
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知|
a
|=4，|
b
|=3，若
a
與
b
的夾角為θ=120°，求
（1）
a
•
b

（2）求|2
a
+3
b
|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（log2x-2）（log4x-
1
2
）
（1）當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，求該函數(shù)的值域；
（2）若f（x）＞mlog2x對(duì)于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（2，0），
b
=（1，4）．
（Ⅰ）求|
a
+
b
|的值；         
（Ⅱ）若向量k
a
+
b
與
a
+2
b
平行，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分別是AB，BB1的中點(diǎn)．
（1）證明：BC1∥平面A1CD；
（2）設(shè)AA1=AC=CB=1，AB=
2
，求三棱錐D一A1CE的體積．

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同步練習(xí)冊(cè)答案