Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分別是AB，BB₁的中點(diǎn)．
（1）證明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）設(shè)AA₁=AC=CB=1，AB=

2

，求三棱錐D一A₁CE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)AC₁交A₁C于點(diǎn)F，則F為AC₁中點(diǎn)，可得BC₁∥DF，利用線面平行的判定定理，即可證明BC₁∥平面A₁CD；
（2）證明CD⊥平面ABB₁A₁，DE⊥A₁D，轉(zhuǎn)換底面，即可求三棱錐D一A₁CE的體積．

解答： （1）證明：連結(jié)AC₁交A₁C于點(diǎn)F，則F為AC₁中點(diǎn)．
又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，則BC₁∥DF

∵DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD ∴BC1∥平面A1CD

（2）解：∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱∴AA₁⊥CD
∵AC=CB，D為AB中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，
∵AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∴AA₁=AC=CB=1，AB=

2

，
∴∠ACB=90°，CD=

2

2

，A₁D=

6

2

，DE=

3

2

，A₁E=

3

2

，
∴A₁D²+DE²=A₁E²，∴DE⊥A₁D，
∴VD-A1CE=VC-A1DE=

1

3

×(

1

2

×

6

2

×

3

2

)×

2

2

=

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，求三棱錐的體積，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．