Question

9．在△ABC中，D是邊AC的中點，若A=$\frac{π}{3}$，cos∠BDC=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，△ABC面積為3$\sqrt{3}$，則sin∠ABD=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，邊長BC=2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 設AB=c、AC=b、BC=a，由三角形的面積公式求出 bc的值，由誘導公式和平方關系求出cos∠ADB、sin∠ADB，由兩角和的正弦公式求出sin∠ABD；在△ABD中由正弦定理和bc的值求出c²、b²，在△ABC中由余弦定理求出BC的長．

解答 解：如圖所示：設AB=c、AC=b、BC=a，
∵D是邊AC的中點，∴AD=DC=$\frac{1}{2}b$，
∵A=$\frac{π}{3}$，△ABC面積為3$\sqrt{3}$，∴$\frac{1}{2}bcsinA=3\sqrt{3}$，
則$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}bc=3\sqrt{3}$，得bc=12，
∵∠ADB+∠BDC=π，cos∠BDC=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，∴cos∠ADB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
由∠ADB∈（0，π）得，sin∠ADB=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ADB}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
在△ABD中，sin∠ABD=sin（∠ADB+A）
=sin∠ADBcosA+cos∠ADBsinA
=$\frac{\sqrt{21}}{7}$×$\frac{1}{2}+$$\frac{2\sqrt{7}}{7}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，
在△ABD中，由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{AD}{sin∠ABD}$，
∴$\frac{c}{\frac{\sqrt{21}}{7}}$=$\frac{\frac{2}}{\frac{3\sqrt{21}}{14}}$，化簡得b=3c，
代入bc=12得，c²=4、b²=36，
在△ABC中，由余弦定理得，BC²=AB²+AC²-2•AB•AC•cosA
=c²+b²-bc=4+36-12=28，
∴BC═2$\sqrt{7}$，（9分），
故答案為：$\frac{3\sqrt{21}}{14}$；2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理，兩角和的正弦公式，以及三角形的面積公式，考查化簡、計算能力，屬于中檔題．