Question

18．已知函數(shù)$f（x）=1-\frac{{m{e^x}}}{{{x^2}+x+1}}$，若存在唯一的正整數(shù)x₀，使得f（x₀）≥0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． $[\frac{13}{e^3}，\frac{7}{e^2}]$
• B． $（\frac{13}{e^3}，\frac{7}{e^2}]$
• C． $[\frac{7}{e^2}，\frac{3}{e}]$
• D． $（\frac{7}{e^2}，\frac{3}{e}]$

Answer 1

分析 由題意，f（x）=0，可得m=$\frac{{x}^{2}+x+1}{{e}^{x}}$，確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合存在唯一的正整數(shù)x₀，使得f（x₀）≥0，x=1時(shí)，m=$\frac{3}{e}$，x=2時(shí)，m=$\frac{7}{{e}^{2}}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，f（x）=0，可得m=$\frac{{x}^{2}+x+1}{{e}^{x}}$，
∴m′=$\frac{-x（x-1）}{{e}^{x}}$，
∴函數(shù)在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞減，在（0，1）上單調(diào)遞增，
∵存在唯一的正整數(shù)x₀，使得f（x₀）≥0，x=1時(shí)，m=$\frac{3}{e}$，x=2時(shí)，m=$\frac{7}{{e}^{2}}$，
∴$\frac{7}{{e}^{2}}$＜m≤$\frac{3}{e}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查特稱命題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．