Question

如圖：內(nèi)接于⊙O的△ABC的兩條高線AD、BE相交于點H，過圓心O作OF⊥BC于 F，連接AF交OH于點G，并延長CO交圓于點I．
（1）若

OF

=λ

AH

，試求λ的值；
（2）若

CH

=x

OA

+y

OB

，試求x+y的值；
（3）若O為原點，點B的坐標為（-4，-3），點C的坐標為C（4，-3），試求點G的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,平面向量及應用,直線與圓

分析：（1）先判斷四邊形AIBH為平行四邊形，利用向量的線性運算，可求λ的值；
（2）利用利用向量的線性運算，結(jié)合平面向量基本定理，求x+y的值；
（3）利用代入法，可求點G的軌跡方程．

解答： 解：∵CI為直徑，
∴∠IAC和∠IBC均為直角，
∴AI∥BE，BI∥AD，
∴四邊形AIBH為平行四邊形
（1）

OF

=

1

2

IB

=

1

2

AH

=λ

AH

，∴λ=

1

2

；
（2）

OH

=

OB

+

BH

=

OB

+

IA

而

IA

=

OA

-

OI

=

OA

-

CO

∴

OH

=

OB

+

BH

=

OB

+

IA

=

OB

+

OA

+

OC

∴

CH

=

OA

+

OB

而

CH

=x

OA

+y

OB

，
∴x+y=2
（3）∵OF=

1

2

IB=

1

2

AH，∴FG=

1

2

GA又F為BC的中點，∴G為△ABC的重心
顯然，A的軌跡為除B，C外的⊙O，其方程為：x²+y²=25（y≠-3）
設A（x₀，y_o），G（x，y），則

x= x0 3 y= y0-3-3 3

，得：

x0=3x y0=3y+6

代入⊙O的方程并化簡得G的軌跡方程為：x2+(y+2)2=

25

9

（y≠-3）．

點評：本題考查向量知識的運用，考查軌跡方程，考查代入法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．