Question

7．如圖，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=$\sqrt{2}$，AA₁=3，D是BC的中點，點E在棱BB₁上
（1）證明：AD⊥C₁E
（2）當(dāng)BE=1時，求三棱錐C₁-A₁B₁E的體積．

Answer 1

分析 （1）欲證明AD⊥C₁E，需證明AD⊥面CBB₁C₁．推導(dǎo)出BB₁⊥AD，BC⊥AD，能證明AD⊥面CBB₁C₁，由此能證明AD⊥C₁E
（2）三棱錐C₁-A₁B₁E的體積${V}_{{C}_{1}-{A}_{1}{B}_{1}C}$=${V}_{E-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）∵E為動點，∴欲證明AD⊥C₁E，需證明AD⊥面CBB₁C₁．
∵ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，∴BB₁⊥面ABC，
∵AD?面ABC，∴BB₁⊥AD，
∵Rt△ABC是等腰直角三角形，且D為BC的中點，∴BC⊥AD，
∵BB₁∩BC=B，∴AD⊥面CBB₁C₁，
∵C₁E?面CBB₁C₁，∴AD⊥C₁E
解：（2）∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥A₁B₁，BE=1，
∴EB₁=2，且EB₁是三棱錐E-A₁B₁C₁的高，
∴三棱錐C₁-A₁B₁E的體積：
${V}_{{C}_{1}-{A}_{1}{B}_{1}C}$=${V}_{E-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}×E{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×1×2=\frac{2}{3}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．