Question

17．橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，滿足方程$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{28}=1$，點(diǎn)A，B是它的兩個(gè)焦點(diǎn)．當(dāng)靜止的小球從點(diǎn)A開始出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)橢圓壁反射后再回到點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)小球經(jīng)過的路程可能是（　　）

• A． 32或4或$16-4\sqrt{7}$
• B． $16+4\sqrt{7}$或28或$16-4\sqrt{7}$
• C． 28或4或$16+4\sqrt{7}$
• D． 32或28或4

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓簡單幾何性質(zhì)可知，當(dāng)靜止的小球放在點(diǎn)A處，從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，射到左頂點(diǎn)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)；射到右頂點(diǎn)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)，；小球從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈到B點(diǎn)繼續(xù)前行碰橢圓壁后回到A點(diǎn)，所走的軌跡正好是兩次橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義可求得答案．

解答 解：由題意可知：$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{28}=1$，可知a=8，b=2$\sqrt{7}$，c=6，
∴當(dāng)靜止的小球放在點(diǎn)A處，從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，到達(dá)左頂點(diǎn)，經(jīng)橢圓壁反彈后，
再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是2×2=4；
當(dāng)?shù)竭_(dá)右頂點(diǎn)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是2×（8+6）=28；
小球經(jīng)兩次橢圓壁后反彈后回到A點(diǎn)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知所走的路程正好是4a=4×8=32．
故答案選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的性質(zhì)的簡單應(yīng)用．考查橢圓的第一定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．