Question

19．已知函數(shù)f（x）=ae^x-2x-2a，a∈[1，2]，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，ln2]上的值域?yàn)閇p，q]，則（　�。�

• A． p≥-$\frac{5}{2}$，q$≤-\frac{1}{2}$
• B． p$≥-\frac{1}{2}$，q$≤\frac{1}{2}$
• C． p≥-2，q≤-1
• D． p≥-1，q≤0

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（a）=（e^x-2）a-2x，a∈[1，2]，由x∈[0，ln2]，可得e^x∈[1，2]．看做關(guān)于a的因此函數(shù)可得：g（x）_max=g（1）=e^x-2-2x，g（x）_min=g（2）=2e^x-4-2x．x∈[0，ln2]．函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，ln2]上的值域?yàn)閇p，q]，利用q=e^x-2-2x，p=2e^x-4-2x．x∈[0，ln2]．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，即可得出．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（a）=（e^x-2）a-2x，a∈[1，2]，由x∈[0，ln2]，可得e^x∈[1，2]．
∴g（a）在a∈[1，2]上單調(diào)遞減，
∴g（a）_max=g（1）=e^x-2-2x，g（a）_min=g（2）=2e^x-4-2x．x∈[0，ln2]．
函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，ln2]上的值域?yàn)閇p，q]，
∴q=e^x-2-2x，p=2e^x-4-2x．x∈[0，ln2]．
q′=e^x-2≤0，∴函數(shù)q（x）單調(diào)遞減，∴q（ln2）≤q≤q（0），∴-2ln2≤q≤-1．
p′=2e^x-2≥0，∴函數(shù)p（x）單調(diào)遞增，∴p（ln2）≥p≥p（0），-2ln2≥p≥-2．．
綜上可得：p≥-2，q≤-1．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于難題．