Question

14．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增的是（　�。�

• A． x^-2
• B． |lnx|
• C． x³
• D． 2^x+2^-x

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：A．f（x）=x^-2=$\frac{1}{{x}^{2}}$，則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，在（0，+∞）上為減函數(shù)，不滿足條件．
B．f（x）=ln|x|，當(dāng)x=0時，函數(shù)無意義，則函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件．
C．f（x）=x³，則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)，不滿足條件．
D．f（x）=2^x+2^-x，則f（-x）=2^-x+2^x=f（x），為偶函數(shù)，
設(shè)0＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=${2}^{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-${2}^{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$=${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$=${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$+$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$）
=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）•$\frac{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$，
∵0＜x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，${2}^{{x}_{1}}$＞1，${2}^{{x}_{2}}$＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）•$\frac{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$＜0，
則f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，滿足條件．
故選：D

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．