Question

在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC是邊長(zhǎng)2的正三角形且與底面ABCD垂直，底面ABCD是面積為的菱形，∠ADC為銳角．
（1）求證：PA⊥CD
（2）求二面角P-AB-D的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）過P作PE⊥CD于E連接AE，根據(jù)線面所成角的定義可知∠PBE為側(cè)棱PB與底面ABCD所成的角，求出PE與BE，在△BCE中，求出∠BCE，從而得到△ADC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則AE⊥CD，根據(jù)三垂線定理可知PA⊥CD；
（II）根據(jù)二面角平面角的定義可知∠PAE就是二面角P-AB-D的平面角，在三角形APE中求出此角即可．
解答：解：（Ⅰ）過P作PE⊥CD于E連接AE
∵側(cè)面PDC⊥底面ABCD，PE?側(cè)面PDC，且PE⊥CD，
∴PE⊥底面ABCD
∵2×AD•DCsin∠ADE=
∴
故△ADC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形
∵E為DC的中點(diǎn)，∴AE⊥CD
∴PA⊥CD
（Ⅱ）∵PA⊥CD，AE⊥CD，CD∥AB，∴PA⊥AB．AE⊥AB，
∴∠PAE就是二面角P-AB-D的平面角
∵△ADC和△PDC都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，
∴PE=AE，又∵PE⊥AE，
∴∠APE=45°即二面角P-AB-D的大小為45°．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面所成的角，以及平面與平面垂直的性質(zhì)和二面角及其度量，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．