Question

已知點(diǎn)M（2，0），P為拋物線C：y²=2px（p＞0）上一動點(diǎn)，若|PM|的最小值為．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知⊙M：（x-2）²+y²=r²（r＞0），過原點(diǎn)O作⊙M的兩條切線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若直線AB與⊙M也相切．
（i）求r的值；
（ii）對于點(diǎn)Q（t²，t），拋物線C上總存在兩個點(diǎn)R，S，使得△QRS三邊與⊙M均相切，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）點(diǎn)M（2，0），P為拋物線C：y²=2px（p＞0）上一動點(diǎn)，設(shè)P（，y），所以|PM|²=（-2）²+y²=y⁴+（1-）y²+4，由此能求出拋物線C的方程．
（2）（i）由題意A（2+r，），B（2+r，-），知，由此能求出r．
（ii）設(shè)，則，△QRS三邊與⊙M均相切，故，由此能求出t．
解答：解：（1）∵點(diǎn)M（2，0），P為拋物線C：y²=2px（p＞0）上一動點(diǎn)，設(shè)P（，y），
∴|PM|²=（-2）²+y²=y⁴+（1-）y²+4，
∴對稱軸為y²=2p（2-p）．
當(dāng)p≥2，|PM|_min=2，舍
當(dāng)0＜p＜2，，解得或（舍），
所以y²=x．
（2）（i）由題意A（2+r，），B（2+r，-），
∴，
OA：y=，∴，
∴（r-1）（r+2）²=1，
解得r=1．
（ii）設(shè)，則
∵△QRS三邊與⊙M均相切，
∴，從而，將t₁換成t₂也成立
因?yàn)閠₁≠t₂，所以t²≠1
故t₁，t₂為方程（1-t²）x²-2tx+t²-3=0的兩根，
∴，
故，即，
圓心到RS的距離，
解得t=±1．
故t的取值范圍是{-1，1}．
點(diǎn)評：本題考查拋物線方程的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意點(diǎn)到直線的距離公式的求法．