Question

5．已知曲線C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+3cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$ （α為參數(shù)），A是C₁上的動點，B點滿足$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OA}$，O為坐標原點，B點的軌跡為曲線C₂
（1）求C₂的參數(shù)方程；
（2）在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線θ=$\frac{π}{6}$與C₁的異于極點的交點為M，與C₂的異于極點的交點為N，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）設(shè)B（x，y），B點滿足$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OA}$，A（$\frac{x}{4}$，$\frac{y}{4}$），代入曲線C₁的參數(shù)方程，可得曲線C₂的參數(shù)方程．
（2）曲線C₁的參數(shù)方程，利用cos²α+sin²α=1可得普通方程，利用極坐標與直角坐標互化公式可得極坐標方程．同理可得曲線C₂的極坐標方程．把射線θ=$\frac{π}{6}$分別代入上述兩個極坐標方程可得：ρ₁=|OA|，ρ₂=|OB|．即可得出|AB|=|OB|-|OA|．

解答 解：（1）設(shè)B（x，y），∵B點滿足$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OA}$，∴A（$\frac{x}{4}$，$\frac{y}{4}$），
代入曲線C₁的參數(shù)方程，可得：$\left\{\begin{array}{l}{x=12+12cosα}\\{y=12sinα}\end{array}\right.$，（α為參數(shù)），即為C₂的參數(shù)方程．
（2）曲線C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+3cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$，可得普通方程：（x-3）²+y²=9，
化為極坐標方程：ρ²-6ρcosθ=0，即ρ=6cosθ．
曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=12+12cosα}\\{y=12sinα}\end{array}\right.$，可得普通方程：（x-12）²+y²=144，
化為極坐標方程：ρ²-24ρcosθ=0，即ρ=24cosθ．
把射線θ=$\frac{π}{6}$分別代入上述兩個極坐標方程可得：
ρ₁=6cos$\frac{π}{6}$=3$\sqrt{3}$=|OA|，ρ₂=24cos$\frac{π}{6}$=12$\sqrt{3}$=|OB|．
∴|AB|=|OB|-|OA|=9$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、坐標變換、參數(shù)方程化為普通方程及其應用、極坐標方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．