Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lg（|x+1|+|x-a|-2）（a∈R）
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-2 時(shí)，由題意可得|x+1|+|x+2|＞2，去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，分別求得每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得|x+1|+|x-a|-2＞0恒成立，再利用絕對(duì)值三角不等式求得|x+1|+|x-a|的最小值為|a+1|，可得|a+1|＞2，由此求得a的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-2 時(shí)，f（x）=lg（|x+1|+|x+2|-2），
若函數(shù)f（x）有意義，則|x+1|+|x+2|-2＞0，即|x+1|+|x+2|＞2，
∴

x＜-2 -2x-3＞2

 ①，或 

-2≤x＜-1 -1＞2

 ②，或

x≥-1 2x+3＞2

  ③，
解①求得 x＜-

5

2

，解②求得x∈∅，解③求得x＞-

1

2

，
故函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，-

5

2

）、（-

1

2

，+∞）．
（2）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則|x+1|+|x-a|-2＞0恒成立．
由于|x+1|+|x-a|≥|（x+1）-（x-a）|=a+1，∴|a+1|＞2，
解得 a＞1，或a＜-3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，絕對(duì)值三角不等式，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．