Question

雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P在右支上，且PF₁與圓x²+y²=a²相切，切點(diǎn)為PF₁的中點(diǎn)，F(xiàn)₂到一條漸近線的距離為3，則△F₁PF₂的面積為（　�。�

• A、9
• B、3
• C、

  3

• D、1

Answer 1

分析：利用PF₁與圓x²+y²=a²相切，切點(diǎn)為PF₁的中點(diǎn)，可得∠F₁PF₂=90°，|PF₂|=2a，從而可得|PF₁|=4a，c=

5

a，根據(jù)F₂到一條漸近線的距離為3，求出b，進(jìn)而利用△F₁PF₂的面積為

1

2

|PF₂||PF₁|，可得結(jié)論．

解答：解：∵PF₁與圓x²+y²=a²相切，切點(diǎn)為PF₁的中點(diǎn)，
∴∠F₁PF₂=90°，|PF₂|=2a，
∴|PF₁|=4a，
∴4c²=（4a）²+（2a）²，
∴c=

5

a
∵F₂到一條漸近線的距離為3，
∴

bc

b2+a2

=3，
∴b=3，
∴c²-a²=9，
∴a=

3

2

，
∴|PF₂|=3，|PF₁|=6，
∴△F₁PF₂的面積為

1

2

|PF₂||PF₁|=9．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求出|PF₂|=3，|PF₁|=6是關(guān)鍵．