Question

7．平行四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，沿BD將四邊形折成直二面角A-BD-C，且2|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²=8，則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為8π．

Answer 1

分析 由已知中$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0可得AB⊥BD，沿BD折起后，由平面ABD⊥平面BDC，可得三棱錐A-BCD的外接球的直徑為AC，進(jìn)而根據(jù)2|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²=8，求出三棱錐A-BCD的外接球的半徑，可得三棱錐A-BCD的外接球的表面積．

解答 解：平行四邊形ABCD中，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0
∴AB⊥BD，
沿BD折成直二面角A-BD-C，
∵平面ABD⊥平面BDC
三棱錐A-BCD的外接球的直徑為AC，
∴AC²=AB²+BD²+CD²=2AB²+BD²=8
∴外接球的半徑為$\sqrt{2}$，
故表面積是8π．
故答案為：8π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，其中根據(jù)已知求出三棱錐A-BCD的外接球的半徑是解答的關(guān)鍵．