Question

【題目】已知橢圓M的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸,離心率為,且一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0).

(1)求橢圓M的方程;

(2)設(shè)直線l與橢圓M相交于A,B兩點(diǎn),以線段OA,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中點(diǎn)P在橢圓M上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求點(diǎn)O到直線l的距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，已知離心率e= ，一個(gè)焦點(diǎn)（c，0）=（，0），結(jié)合a2=b2+c2，求得a,b,c的值，即可得橢圓方程;

（2）分類(lèi)討論，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，得O到l的最小值為，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，得最小值為1，綜合考慮，可知點(diǎn)O到l的最小值是.

(1)由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a>b>0),∴解得a=2,b=,

∴ 橢圓M的方程為=1.

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+m,聯(lián)立

化為(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0

,Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)>0,化為2+4k2-m2>0,

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).

∴x0=x1+x2=,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=.

∵點(diǎn)P在橢圓M上,∴=1.

∴=1,化簡(jiǎn)得2m2=1+2k2,滿(mǎn)足Δ>0.

又點(diǎn)O到直線l的距離d==.

當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)取等號(hào).

當(dāng)直線l無(wú)斜率時(shí),由對(duì)稱(chēng)性可知:點(diǎn)P一定在x軸上,從而點(diǎn)P的坐標(biāo)為(±2,0),直線l的方程為x=±1,∴點(diǎn)O到直線l的距離為1.

∴點(diǎn)O到直線l的距離的最小值為.