Question

已知函數(shù)f（x）=alnx，g（x）=-x²+（a+2）x+1．
（1）若直線y=2x與曲線y=f（x）相切，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若f（x）≥g（x）對一切實(shí)數(shù)x∈[1，e]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再代入f（x）=alnx，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）f（x）≥g（x），即alnx≥-x²+（a+2）x+1．也即a（x-lnx）≤x²-2x-1，此式對一切實(shí)數(shù)x∈[1，e]恒成立．進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為a ≤ 

x2-2x-1

x-lnx

，此式對一切實(shí)數(shù)x∈[1，e]恒成立，求最值即可．

解答： 解：（1）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
∵f（x）=alnx，∴f′（x）=

a

x

，
∴切線方程為y-alnx₀=

a

x0

（x-x₀）．                …2分
∵切線y=2x過原點(diǎn)，∴-alnx₀=-a．
則x₀=e，y₀=2e．即切點(diǎn)為（e，2e）．               …4分
代入y=f（x），得a=2e．              …6分
（2）f（x）≥g（x），即alnx≥-x²+（a+2）x+1．
也即a（x-lnx）≤x²-2x-1，此式對一切實(shí)數(shù)x∈[1，e]恒成立．
設(shè)h（x）=x-lnx，∵h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0在x∈[1，e]恒成立．
∴h（x）=x-lnx在[1，e]上是增函數(shù)，h（x）≥h（1）=1．   …8分
∴a ≤ 

x2-2x-1

x-lnx

，此式對一切實(shí)數(shù)x∈[1，e]恒成立．   …10分
設(shè)u(x)=

x2-2x-1

x-lnx

，
則u′(x)=

(2x-2)(x-lnx)-(x2-2x-1)(1- 1 x )

(x-lnx)2

=

(x-1)(x2-2xlnx+2x+1)

x(x-lnx)2

．   …13分
當(dāng)x∈（1，e）時，-2xlnx+2x=2x（1-lnx）＞0．則u'（x）＞0．
而u（x）在[1，e]是圖象不間斷，∴u（x）的最小值為u（1）=-2．
∴a≤-2．                                      …16分．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，正確分離參數(shù)求最值是關(guān)鍵．