Question

己知函數(shù)f（x）=x，g（x）=ln（1+x）
（1）證明：當x＞0時，恒有f（x）＞g（x）；
（2）當x＞0時，不等式g（x）＞

kx

k+x

（k≥0）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,作圖題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）令F（x）=f（x）-g（x）=x-ln（1+x）；從而求導(dǎo)再判斷單調(diào)性，從而證明；
（2）不等式g（x）＞

kx

k+x

可化為xln（1+x）＞k（x-ln（1+x））；從而得k＜

xln(1+x)

x-ln(1+x)

；令F（x）=

xln(1+x)

x-ln(1+x)

，再作圖象，從而利用圖象解答．

解答： 解：（1）證明：令F（x）=f（x）-g（x）=x-ln（1+x）；
故F′（x）=1-

1

x+1

；
∵x＞0，∴F′（x）＞0；
故F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故F（x）＞F（0）=0，
故f（x）-g（x）＞0，
即f（x）＞g（x）；
（2）不等式g（x）＞

kx

k+x

可化為
xln（1+x）＞k（x-ln（1+x））；
即k＜

xln(1+x)

x-ln(1+x)

；
令F（x）=

xln(1+x)

x-ln(1+x)

，
作函數(shù)F（x）=

xln(1+x)

x-ln(1+x)

的圖象如下，
故k≤2，
故0≤k≤2．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想應(yīng)用，同時考查了恒成立問題，屬于難題．