在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上取一點(diǎn)，P與長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)A、B的連線分別交短軸所在直線于M，N兩點(diǎn)，設(shè)O為原點(diǎn)，求證：|OM|•|ON|為定值．
考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：證明題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：設(shè)點(diǎn)P（x，y），A（-a，0），B（a，0），M（0，m），N（0，n），由三點(diǎn)共線則斜率相等，得到方程，再由P在橢圓上得到方程，化簡(jiǎn)整理，即可得到定值．
解答： 證明：設(shè)點(diǎn)P（x，y），A（-a，0），B（a，0），M（0，m），N（0，n），
則
x2
a2
+
y2
b2
=1，即有y2=b2•
a2-x2
a2

則由P，A，M三點(diǎn)共線，可得，
y
x+a
=
m
a
，
由P，N，B共線，可得，
y
x-a
=
n
-a
，
上兩式相乘可得，
y2
x2-a2
=
mn
-a2
，
即有-
b2
a2
=
mn
-a2
，則mn=b2，
故|OM|•|ON|為定值b2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程和運(yùn)用，考查直線的斜率公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在△ABC中，己知AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AH⊥BC于H，M為AH的中點(diǎn)，若
AM
=λ
AB
+μ
BC
，則λ+μ=（　�。�
A、
1
2
B、
2
3
C、
3
4
D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

解不等式組：
2sinx-
2
＞0
2cosx≤1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A（a，0），離心率為
5
3
，過(guò)點(diǎn)A的直線交橢圓于另一點(diǎn)B，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-
2
2
3
），則E的方程為（　　）
A、
x2
18
+
y2
10
=1
B、
x2
18
+
y2
8
=1
C、
x2
9
+
y2
5
=1
D、
x2
9
+
y2
4
=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

己知函數(shù)f（x）=x，g（x）=ln（1+x）
（1）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，恒有f（x）＞g（x）；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，不等式g（x）＞
kx
k+x
（k≥0）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=
1
xlnx
的單調(diào)減區(qū)間是（　�。�
A、（0，
1
e
）
B、（
1
e
，+∞）
C、（
1
e
，1）∪（1，+∞）
D、（ 
1
e
，1），（1，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-ln（x+1）a+1（x＞-1，a∈R）．
（1）設(shè)a＞0，x＞0，求證：f（x）＞-x；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求證：
ln2
22
+
ln3
32
+…+
lnn
n2
＜
n
2
-
5
8
（n為正整數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

2013年某時(shí)刻，在釣魚島附近的海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處（
3
-1）海里的B處有一艘日本走私船，在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的中國(guó)巡邏艦，奉命以10
3
海里/時(shí)的速度追截日本走私船，此時(shí)日本走私船正以10海里/時(shí)的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄．問(wèn)：中國(guó)巡邏艦沿什么方向行駛才能最快截獲日本走私船？并求出所需時(shí)間．（改編題）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f(x)=
ax+bx≤0
logc(x+
1
9
)x＞0
的部分圖象如圖所示
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）探討關(guān)于x的方程f2（x）+b|f（x）|-1=0（b∈R）根的個(gè)數(shù)．

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