(本小題滿分12分)
如圖,已知四棱錐
,底面
為菱形,
平面
,
,
分別是
的中點.
(Ⅰ)
判定AE與PD是否垂直,并說明理由
(Ⅱ)若
為
上的動點,
與平面
所成最大角的正切值為
,求二面角
的余弦值。
(Ⅰ)垂直.證明:由四邊形
為菱形,
,可得
為正三角形.
因為
為
的中點,所以
.又
,因此
.
因為
平面
,
平面
,所以
.
而
平面
,
平面
且
,
所以
平面
.又
平面
,所以
.
(Ⅱ)解:設(shè)
,
為
上任意一點,連接
.
由(Ⅰ)知
平面
,則
為
與平面
所成的角.
在
中,
,所以當(dāng)
最短時,
最大,
即當(dāng)
時,
最大.
此時
,
因此
.又
,所以
, 高#考#資#源#
所以
.
解法一:因為
平面
,
平面
,
所以平面
平面
.過
作
于
,則
平面
,
過
作
于
,連接
,則
為二面角
的平面角,
在
中,
,
,
又
是
的中點,在
中,
,
又
,在
中,
,
即所求二面角的余弦值為
.
解法二:由(Ⅰ)知
兩兩垂直,以
為坐標(biāo)原點,建立
如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,又
分別為
的中點,
∴
,
,
所以
.
設(shè)平面
的一法向量為
,則
因此
取
,則
,
因為
,
,
,
所以
平面
,故
為平面
的一法向量.
又
,所以
.
因為二面角
為銳角,所以所求二面角的余弦值為
.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
、如圖所示,棱長為1的正方體
中,
,
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求M、N點的坐標(biāo)。(2)求
的長度。(12分)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD上⊥平面ABCD,AD⊥CD,且BD平分∠ADC,
E為PC的中點,AD=CD=l,BC=PC,
(Ⅰ)證明PA∥平面BDE;
(Ⅱ)證明AC⊥平面PBD:
(Ⅲ)求四棱錐P-ABCD的體積,
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知三棱柱
,底面三角形
為正三角形,側(cè)棱
底面
,
,
為
的中點,
為
中點.
(Ⅰ) 求證:直線
平面
;
(Ⅱ)求平面
和平面
所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分8分)
如圖,一個圓錐形的空
杯子上面放著一個半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,會溢出杯子嗎?請用你的計算數(shù)據(jù)說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分)
圖為一簡單組合體,其底面ABCD為正方形,
平面
,
,
且
,
(1)求證:
//平面
;
(2)若
N為線段
的中點,求證:
平面
;
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分10分)如圖,已知
與
都是邊長為
的等邊三角形,且平面
平面
,過點
作
平面
,且
.
(1)求證:
平面
;
(2)求直線
與平面
所成角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知直線
平行于平面
,直線
在平面
內(nèi),則
與
的位置關(guān)系可能為 ( )
平行
異面
平行或異面
平行、相交或異面
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形,
,點M
是棱PC的中點,
平面ABCD,AC、BD交于點O。
(1)求證:
,求證:AM
平面PBD;
(2)若二面角M—AB—D的余弦值等于
,求PA的長
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