Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的右、右焦點分別為F₁、F₂，上頂點為A，過A與AF₂垂直的直線交x軸負半軸于Q點，且2

F1F2

+

F2Q

=0．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過A、Q、F₂三點的圓恰好與直線x-

3

y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（3）在（2）的條件下，過右焦點F₂的直線交橢圓于M、N兩點，點P（4，0），求△PMN面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）欲求橢圓C的離心率，只需得到關于a，c的齊次式，由

F2A

⊥

A Q

，2

F1F2

+

F2Q

=0，以及b²=a²-c²，就可得到a，c的齊次式，求出橢圓C的離心率．
（2）帶著參數(shù)求出過A、Q、F₂三點的圓的圓心坐標以及半徑，再根據(jù)圓恰好與直線x-

3

y-3=0相切，求出參數(shù)的值，
就可得到橢圓C的方程．
（3）設直線MN的方程，欲（2）中求出的橢圓方程聯(lián)立，求出y₁+y₂，y₁y₂的值，就可得到|y₁-y₂|，而△PMN的面積可用=

1

2

|PF₂|•|y₁-y₂|表示，再利用均值不等式求出最大值．

解答：解：（1）設Q（x₀，0）．∵F₂（c，0），A（0，b），∴

F2A

=（-c，b），

A Q

=（x₀，-b）
∵

F2A

⊥

A Q

，∴-cx₀-b²=0，故 x₀=-

b2

c

，
又∵2

F1F2

+

F2Q

=0，∴F₁為F₂Q的中點，故-2c=-

b2

c

+c，即，b²=3c²=a²-c²，∴e=

c

a

=

1

2

（2）∵e=

c

a

=

1

2

，∴a=2c，b=

3

c，則F2（c，0），Q（-3c，0），A（0，

3

c）
∴△AQF2的外接圓圓心（-c，0），半徑r=

1

2

|F₂Q|=a=2c
∴

|-c-3|

2

=2c，解得c=1，∴a=2，b=

3

橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（3）設直線MN：x=my+1，代入

x2

4

+

y2

3

=1，得，（3m²+4）y²+6my-9=0
設M（x₁，y₁），n（x₂，y₂），∴y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

，
|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4 3 3m2+3

3m2+4

∴S_△PMN=

1

2

|PF₂|•|y₁-y₂|=

6 3 3m2+3

3m2+4

，
令

3m2+3

=λ≥

3

，
∴S_△PMN=

6 3 λ

λ2+1

=

6 3

λ+ 1 λ

≤

6 3

3 λ+ 1 3 λ

=

9

2

∴△PMN面積的最大值為

9

2

，此時，m=0

點評：本題考查了橢圓離心率，方程的求法，以及直線與橢圓位置關系的判斷，注意設而不求思想的應用．