已知y=f（x）的定義域?yàn)镽，且恒有等式2f（x）+f（-x）+2x=0對任意的實(shí)數(shù)x成立．
（Ⅰ）試求f（x）的解析式；
（Ⅱ）討論f（x）在R上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義予以證明．

解：（Ⅰ）∵2f（x）+f（-x）+2x=0 ①對任意的實(shí)數(shù)x成立；
∴2f（-x）+f（x）+2-x=0 ②；
①×2-②得：3f（x）+2×2x-2-x=0?f（x）=（2-x-2×2x）；
（Ⅱ）函數(shù)在實(shí)數(shù)集上遞減．
證明：任取a＜b，
則f（a）-f（b）=（2-a-2×2a）-（2-b-2×2b）
=[（2-a-2-b）-2×（2a-2b）]
=[（-）-2×（2a-2b）]
=（2b-2a）（+2）；
∵a＜b；
∴2b-2a＞0，2a+b＞0；
∴（2b-2a）（+2）＞0；
∴f（a）-f（b）＞0?f（a）＞f（b）．
∴函數(shù)f（x）在R上遞減．
分析：（Ⅰ）直接由2f（x）+f（-x）+2x=0得到2f（-x）+f（x）+2-x=0；兩個(gè)方程聯(lián)立即可求出求f（x）的解析式；
（Ⅱ）直接根據(jù)單調(diào)性的證明過程（取值，作差，變形，定號）證明即可．（注意整理過程不能出錯(cuò)）
點(diǎn)評：本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查用賦值法求函數(shù)值，以及靈活利用所給的恒等式證明函數(shù)的單調(diào)性，此類題要求答題者有較高的數(shù)學(xué)思辨能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知：射線OA為y=kx（k＞0，x＞0），射線OB為y=-kx（x＞0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）在∠AOx的內(nèi)部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，四邊形ONPM的面積恰為k．
（1）當(dāng)k為定值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y是橫坐標(biāo)x的函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）根據(jù)k的取值范圍，確定y=f（x）的定義域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
的定義域?yàn)椋?，+∞），且f（2）=2+
2
2
．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）求a的值．
（2）問：|PM|•|PN|是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．
（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形OMPN面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，4），對于偶函數(shù)y=g（x）（x∈R），當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）=f（x）-2x．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)y=g（x）的解析式，并在給  定坐標(biāo)系下，畫出函數(shù)y=g（x）的圖象；
（3）寫出函數(shù)y=|g（x）|的單調(diào)遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x+
5x
的定義域?yàn)椋?，+∞）．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作直線y=2x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）|PM|•|PN|是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由；
（2）設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形OMPN面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-ax+b存在極值點(diǎn)．
（1）求a的取值范圍；
（2）過曲線y=f（x）外的點(diǎn)P（1，0）作曲線y=f（x）的切線，所作切線恰有兩條，切點(diǎn)分別為A、B．
（�。┳C明：a=b；
（ⅱ）請問△PAB的面積是否為定值？若是，求此定值；若不是求出面積的取值范圍．

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