Question

設(shè)a_n是(1-

x

)n的展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)（n=2，3，4，…），若b_n=

an+1

(n+7) a   n+2

，則b_n的最大值是（　�。�

• A、

  9-2 14

  25

• B、

  7-2 6

  25

• C、

  3

  50

• D、

  2

  33

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于1，求得r的值，可得展開(kāi)式中的x項(xiàng)的系數(shù) a_n，從而求得b_n=

an+1

(n+7) a   n+2

的解析式，再利用基本不等式求得b_n的最大值．

解答： 解：(1-

x

)n的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r n

•（-1）^r•x

r

2

，令

r

2

=1，求得r=2，
故展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)a_n=

C

2 n

，
∴b_n=

an+1

(n+7) a   n+2

=

C 2 n+1

(n+7 )C 2 n+2

=

(n+1)•n 2

(n+7)• (n+2)(n+1) 2

 
=

n

n2+9n+14

=

1

9+n+ 14 n

≤

1

9+2 14

，當(dāng)且僅當(dāng)n=

14

n

時(shí)，等號(hào)成立．
再根據(jù)n∈N⁺，可得n=4時(shí)，b_n取得最大值為

1

9+4+ 14 4

=

2

33

，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．