Question

已知實數(shù)x，y滿足

x-y≥0 x≤1 y≥0

且目標函數(shù)z=2ax+by （a＞0，b＞0）的最大值是1，則ab的最大值為

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的截距和z的關(guān)系，利用基本不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：由z=2ax+by （a＞0，b＞0）得y=-

2a

b

x+

z

b

，
∵a＞0，b＞0，
∴直線y=-

2a

b

x+

z

b

的斜率k=-

2a

b

＜0，截距最大時，z也最大．
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由圖象可知當直線y=-

2a

b

x+

z

b

經(jīng)過點A時，取得最大值1，
即2ax+by=1，
由

x=1 y=x

，解得

x=1 y=1

，即A（1，1），
∴2a+b=1，
則1=2a+b≥2

2ab

，
即ab≤

1

8

，
當且僅當2a=b=

1

2

時取等號，
故ab的最大值為

1

8

．
故答案為：

1

8

．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合確定最優(yōu)解，利用基本不等式是解決本題的關(guān)鍵．