Question

水以20m³/分的速度流入一圓錐形容器，設(shè)容器深30m，上底直徑12，當水深10m時，水面上升的速度為

 

．

Answer 1

分析：由平行線分線段成比例得出水面的半徑與水高的關(guān)系，由圓錐的體積公式求出水深與時間的函數(shù)關(guān)系，對水深求導(dǎo)即為水面上升的速度．

解答：解：設(shè)容器中水的體積在t分鐘時為V，水深為h，則V=20t，
又V=

1

3

πr²h，由圖知，

r

h

=

1 2 ×12

30

∴r=

1

5

h
∴V=

1

3

π•(

1

5

h)2•h=

π

75

h³
∴20t=

π

75

h³，
∴h=

3	1500t π

=

3	1500 π

×t

1

3

∴h′=

3	1500 π

×

1

3

×t-

2

3

．
當h=10時，t=

π

75

×10³×

1

20

=

2

3

π，
此時h′=

3	1500 π

×

1

3

×(

2π

3

)-

2

3

=

5

π

．
∴當h=10米時，水面上升速度為

5

π

米/分．
故答案為：

5

π

．

點評：本題考查了圓錐的體積公式以及平行線分線段成比例定理和對水深求導(dǎo)即為水上升的速度等問題，是易錯題．