Question

16．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知$\sqrt{3}$b=2asinB．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）求sinB+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦定理可得：$\sqrt{3}sinB=2sinAsinB$，又sinB≠0，解得$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，結(jié)合△ABC是銳角三角形，即可得A的值．
（Ⅱ）化簡可得sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），求得范圍$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，可得sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，即可得解．

解答 解：（Ⅰ）由$\sqrt{3}b=2asinB$根據(jù)正弦定理可得：$\sqrt{3}sinB=2sinAsinB$，（2分）
又∵sinB≠0，
∴解得$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，（4分）
∵△ABC是銳角三角形，
∴$A=\frac{π}{3}$（6分）
（Ⅱ）∵sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），…（8分）
又∵△ABC銳角三角形，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{0＜B＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-B＜\frac{π}{2}}\end{array}}\right.$，
∴$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}$．…（10分）
∴$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴sinB+sinC∈（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．