Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知焦點(diǎn)在x軸上，離心率為的橢圓E的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)A到右準(zhǔn)線的距離為6．

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)A且斜率為的直線與橢圓E交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B與右焦點(diǎn)F的直線交橢圓E于M點(diǎn)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)橢圓方程為，由橢圓的離心率，求得，再根據(jù)點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為6，求得，進(jìn)而得到橢圓的方程；

（2）直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，求得或，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，得出直線BF方程，聯(lián)立方程組，即可求解點(diǎn)M坐標(biāo)。

（1）設(shè)橢圓方程為，半焦距為c，

因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即a=2c,

又因?yàn)?/span>A到右準(zhǔn)線的距離為6，所以，

解得a=2，c=1,所以，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）直線AB的方程為，

由得，解得或，

則B點(diǎn)的坐標(biāo)為

由題意，右焦點(diǎn)F（1,0），所以直線BF方程為，

由得，解得或，

所以，點(diǎn)M坐標(biāo)為.