Question

如圖，在正方體OPRS-ABCD中，底面ABCD邊長為2，M為OA的中點．
（Ⅰ）求異面直線OC與MD所成角的正切值；
（Ⅱ）求點M到平面OCD的距離．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）如圖所示，設(shè)線段AC的中點為E，連接ME．利用三角形的中位線定理可得：ME∥OC，因此∠EMD或其補角為異面直線OC與MD所成角．利用勾股定理的逆定理可得∠MED=90°．利用tan∠EMD=

DE

EM

即可得出．
（II）作MF⊥OD于F，利用正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定定理可得CD⊥平面ADO．即可得到MF⊥平面OCD．

解答： 解：（I）如圖所示，設(shè)線段AC的中點為E，連接ME．
則ME∥OC，
∴∠EMD或其補角為異面直線OC與MD所成角．
DE=

2

，EM=

1

2

OC=

3

，MD=

5

，
∵(

2

)2+(

3

)2=(

5

)2，
∴∠MED=90°．
∴tan∠EMD=

DE

EM

=

2

3

=

6

3

．
（Ⅱ）作MF⊥OD于F，
∵CD⊥平面ADO．
∴CD⊥MF．
∴MF⊥平面OCD．
∴點M到平面OCD的距離MF=

1

4

AS=

1

4

×2

2

=

2

2

．

點評：本題考查了正方體的性質(zhì)、異面直線所成的角、三角形的中位線定理、勾股定理的逆定理、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、點到平面的距離，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．